निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

(0) माना $I = \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ ..... $(1)$
हम जानते हैं कि गुणधर्म: $\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ यदि $f(2a-x) = f(x)$,और $0$ यदि $f(2a-x) = -f(x)$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \cos^5 x$.
$f(2\pi - x) = \cos^5(2\pi - x) = (\cos(2\pi - x))^5 = (\cos x)^5 = \cos^5 x = f(x)$ जाँचने पर।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^5 x \, dx$.
अब,$\int_{0}^{\pi} \cos^5 x \, dx$ के लिए,हम गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = 0$ का उपयोग करते हैं यदि $f(a-x) = -f(x)$ हो।
यहाँ,$f(\pi - x) = \cos^5(\pi - x) = (\cos(\pi - x))^5 = (-\cos x)^5 = -\cos^5 x = -f(x)$.
इस प्रकार,$\int_{0}^{\pi} \cos^5 x \, dx = 0$.
अतः,$I = 2 \times 0 = 0$.